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In musica, con temperamento si intende l’alterazione di alcuni intervalli di quinta e di quarta nell’accordatura di uno strumento musicale. Diversi schemi di alterazione di questo tipo sono stati introdotti nella musica europea a partire dal tardo Medioevo, al fine di ottenere una scala musicale più adatta alle esigenze della composizione. Per estensione, sono detti temperamenti le scale musicali risultanti da queste alterazioni. La questione del temperamento è sempre stata al centro dell’interesse dei teorici musicali e spesso è stata motivo di accesi dibattiti.

Storia

Nella musica della Grecia antica (così come nelle principali culture musicali extraeuropee) la coesistenza di scale diverse fu considerata perfettamente naturale e utile ai fini espressivi. La costruzione delle scale musicali poteva avvenire secondo un principio ciclico oppure secondo un principio divisivo. Nel primo caso, derivato dalla pratica dell’accordatura di strumenti come le arpe e le cetre, la scala era ottenuta attraverso una successione di quinte ascendenti e quarte discendenti, che potevano essere intonate esattamente grazie al fenomeno acustico dei battimenti. Il principio divisivo, viceversa, definiva gli intervalli fra i gradi successivi della scala come suddivisione di un intervallo fondamentale (la quarta, nel caso della Grecia antica).

Nell’Europa medioevale i teorici descrissero un solo tipo di scala, costruita con il metodo ciclico e attribuita a Pitagora. A Pitagora si attribuisce tradizionalmente l’osservazione che gli intervalli musicali corrispondono a rapporti numerici (valutati attraverso la divisione del monocordo). Nella scala pitagorica (di sette note) le quinte e le quarte corrispondono esattamente alle frazioni 2/3 e 3/4, rispettivamente, mentre l’intervallo di tono corrisponde a 8/9 e l’intervallo di semitono a 243/256.

Pitagorica.jpg

Nel corso del Medioevo furono introdotte le note alterate e l’ottava risultò suddivisa in dodici note (scala cromatica), sempre ottenute con il metodo ciclico:

AccordCiclica.jpg

La scala pitagorica cromatica così costruita presenta due peculiarità. La prima è che l’intervallo di tono non risulta diviso in due semitoni uguali (il semitono pitagorico non è la “metà” di un tono), la seconda è che il ciclo delle quinte (e quarte) dopo dodici suoni non si chiude esattamente sulla nota di partenza: l’intervallo residuo è detto comma pitagorico. Queste proprietà derivano entrambe dal fatto che il principio ciclico (basato sul rapporto 2/3) è matematicamente inconciliabile con l’equidivisione dell’ottava (rappresentata dal rapporto 1/2), per la semplice ragione che nessun numero naturale può essere contemporaneamente una potenza intera di 2 e una potenza intera di 3. Il problema si può risolvere con una definizione puramente divisiva della scala, di cui esistono esempi nell’antichità classica, tuttavia fino a tempi molto recenti non esisteva alcun metodo pratico per applicare un metodo divisivo all’accordatura di uno strumento musicale (anche la suddivisione di una corda si può ottenere con metodi geometrici solo per frazioni razionali, non nel caso dei rapporti irrazionali che inevitabilmente compaiono in una scala di tipo divisivo).

Nel corso del XV secolo si afferma nella composizione polifonica un uso sempre più sistematico degli intervalli di terza in accordi non di passaggio (anche se fino alla fine del secolo molti compositori evitano la terza negli accordi finali); la terza maggiore nella scala pitagorica è poco consonante, e i trattatisti della fine del XV secolo riportano per la prima volta l’uso, nell’accordatura degli organi, di “temperare” le quinte (ossia accordarle calanti), verosimilmente allo scopo di ottenere terze maggiori più consonanti, cioè più vicine al rapporto 4/5. Nella scala pitagorica cromatica gli intervalli FA#-SIb e DO#-FA, che a stretto rigore non sono terze maggiori, sono vicinissimi al rapporto 4/5, e forse proprio l’ascolto occasionale di questi intervalli ha innescato la ricerca di un modo per ottenere lo stesso rapporto in corrispondenza delle “vere” terze maggiori.

Nel corso del XVI secolo è largamente attestata dai trattatisti la pratica del temperamento mesotonico, in cui tutte le quinte sono ugualmente calanti e il riferimento per l’accordatura è costituito dall’assenza di battimenti nelle terze maggiori. Questo temperamento era ancora correntemente utilizzato dagli organari inglesi intorno al 1850.

Il temperamento mesotonico, tuttavia, non permette a sua volta di chiudere esattamente il ciclo delle quinte, e pertanto produce nella scala un intervallo molto crescente (“quinta del lupo”), usualmente fra le note SOL# e MIb; più in generale, non permette di usare alcune note alterate (se i “tasti neri” sono accordati come DO#, MIb, FA#, SOL# e SIb, non possono essere utilizzati per suonare le note REb, RE#, SOLb, LAb e LA#). Poiché la composizione musicale, dalla seconda metà del XVI secolo, prevedeva sempre più frequentemente l’uso di più di cinque note alterate (per i cosiddetti “cromatismi”, e dal secolo successivo per la modulazione in tonalità diverse), il temperamento mesotonico poneva un problema a cui si cercò talora di ovviare con la costruzione di tastiere in cui alcuni tasti neri erano suddivisi per ottenere separatamente le note MIb/RE# e SOL#/LAb (già il monumentale organo di Lorenzo da Prato nella Basilica di San Petronio a Bologna, 1475, presenta alcuni tasti divisi in questo modo).

Nel 1558 il teorico musicale Gioseffo Zarlino propose una radicale riforma della costruzione della scala musicale, allo scopo di includere i rapporti 4/5 e 5/6 (terza maggiore e minore) come intervalli fondamentali accanto ad ottava, quinta e quarta. Nella scala di Zarlino (o scala naturale) compaiono due diversi intervalli di tono, il tono maggiore (8/9) e il tono minore (9/10).

Zarlino.jpg

La scala di Zarlino non è – a rigor di termini – un temperamento, in quanto non è ottenibile con un procedimento ciclico. Inoltre, nella scala naturale sono giusti solo gli intervalli sulla nota fondamentale della scala, mentre gli altri intervalli (ad esempio RE-LA) sono del tutto stonati. Lo stesso Zarlino, in effetti, cita nella sua opera il temperamento mesotonico come schema di accordatura di uso pratico. La proposta di Zarlino fu ulteriormente modificata dal suo discepolo Vincenzo Galilei (padre di Galileo), che propose l’adozione di un semitono corrispondente a 17/18. Nel tentativo di rendere disponibili al musicista gli intervalli giusti (indicati da Zarlino) a partire da qualsiasi nota, furono proposti strumenti a tastiera (archicembalo e arciorgano) in cui erano presenti 31 tasti per ottava: per evidenti motivi tali strumenti non divennero di uso comune.

Il punto di vista di Zarlino e Galilei fu duramente contestato dal matematico e ingegnere fiammingo Simone Stevino, che in un’opera scritta fra la fine del XVI e l’inizio del XVII secolo (rimasta manoscritta) descrisse una scala basata sulla divisione dell’ottava in dodici semitoni uguali. La scala di Stevino, basata su un principio divisivo, non è praticamente ottenibile come “temperamento” in un’accordatura ciclica (per mancanza di intervalli giusti di riferimento); ciononostante, essa è oggi universalmente nota con il nome di temperamento equabile. Gli intervalli di tono e semitono propri della scala di Stevino sono peraltro identici a quelli indicati già da Aristosseno di Taranto (circa 320 a.C.) nella divisione del tetracordo detta “diàtonon syntonon”.

Alla ricerca di una soluzione pratica agli inconvenienti del temperamento mesotonico, il tedesco Andreas Werckmeister scoprì nel 1691 che un’accordatura ciclica che contenga cinque quinte “mesotoniche” e sette quinte “giuste” (ossia “pitagoriche”) chiude (quasi) perfettamente il ciclo delle quinte e pertanto elimina la “quinta del lupo”, permettendo di suonare in tutte le tonalità. Di questo sistema furono introdotte numerose varianti, note in area tedesca come buoni temperamenti e oggi spesso chiamate temperamenti inequabili. Il Clavicembalo ben temperato di J.S. Bach (1722) fu la prima opera che ne esplorò sistematicamente le potenzialità. È tuttora oggetto di vivaci controversie fra gli studiosi quale temperamento fosse adottato da Bach, ma c’è generale consenso intorno all’idea che Bach intendesse mostrare la superiorità di una qualche variante di temperamento inequabile rispetto al temperamento mesotonico, ancora diffuso ai suoi tempi. Nei sistemi di accordatura “ben temperati”, le tonalità hanno caratteri diversi tra di loro, poiché le ampiezze degli intervalli non sono costanti.

Tuttavia, il temperamento equabile continuava ad essere un riferimento teorico non esattamente realizzabile in pratica. Nel 1743 un geniale artigiano svedese, Daniel Strähle, propose un sistema per dividere geometricamente la tastiera di una chitarra in modo da produrre un’eccellente approssimazione del temperamento equabile, ma questo sistema non fu preso in considerazione a causa della stroncatura da parte del matematico Jacob Faggot (stroncatura basata su un calcolo errato da parte di Faggot). Solo verso la fine del XIX secolo furono trovati metodi che permettono di realizzare con precisione un’accordatura equabile.

Nei secoli XVII e XVIII diversi autori, fra cui Mersenne, Rameau e d’Alembert, posero la modellizzazione fisico-matematica dei fenomeni acustici (e specificamente la teoria dei suoni armonici) a fondamento della teoria musicale, indicando una spiegazione scientifica della “giustezza” degli intervalli basati su “rapporti semplici”, così come erano stati costruiti da Pitagora e Zarlino. Il concetto di intonazione giusta fu successivamente approfondito nei suoi aspetti percettivi da Hermann von Helmholtz. Nel corso del XIX secolo, contemporaneamente all’adozione generalizzata del temperamento equabile, persistono tentativi di realizzare strumenti a tastiera che producano intervalli giusti (ad esempio l’ harmonium enarmonico di Bosanquet, 1876), con tasti suddivisi in modo concettualmente simile all’archicembalo descritto nel 1555 da Nicola Vicentino.

La situazione attuale

Dal XX secolo tutti gli strumenti dell’orchestra sinfonica sono costruiti e accordati secondo la scala temperata equabile. I complessi formati da sole voci o soli strumenti a intonazione non fissa (ad esempio i quartetti d’archi) non sono vincolati a un particolare temperamento, e spesso tendono ad adattare l’intonazione dei singoli accordi in modo da avvicinarsi agli intervalli “giusti”; tuttavia l’abitudine alle terze della scala equabile è oggi così fortemente radicata che anche cantanti e violinisti generalmente percepiscono le terze maggiori giuste come nettamente calanti.

A partire dagli anni ’70-’80 i complessi musicali specializzati nell’esecuzione del repertorio preromantico con l’uso di strumenti d’epoca hanno ricominciato ad utilizzare le accordature storicamente appropriate: pitagorica per la polifonia prerinascimentale, mesotonica per la musica dei secoli XVI e XVII, inequabile per la musica barocca. Numerosi organi di epoca rinascimentale o barocca sono stati riaccordati secondo i temperamenti (e l’altezza del La) originali. Si può così osservare, ad esempio, che l’adozione del temperamento mesotonico in luogo di quello equabile, se da un lato limita il repertorio che può essere eseguito, d’altro lato produce una differenza timbrica molto marcata, avvertibile anche da un ascoltatore inesperto.

Gli strumenti musicali elettronici hanno aperto nuove prospettive di uso di scale alternative, inclusa la possibilità, a lungo ricercata nel passato, di usare una molteplicità di intervalli (scale microtonali) senza dover ricorrere a tastiere complicate come quelle dell’archicembalo o dell’harmonium enarmonico. Le tastiere elettroniche di produzione più recente includono spesso la possibilità di scegliere fra diverse accordature, di carattere storico o di origine extraeuropea. È stato inoltre prodotto software dedicato alla costruzione e manipolazione di scale musicali, che permette anche di eseguire files MIDI con accordature diverse da quella temperata equabile.

Confronto tra i temperamenti

La tabella illustra le altezze (espresse in cent) dei gradi della scala maggiore secondo i vari temperamenti.

Grado
della scala
Temperamento
equabile
Interv. Temperamento
naturale
Interv. Temperamento
pitagorico
Interv.
I 0 0 0
II 200 200 204 204 204 204
III 400 200 386 182 408 204
IV 500 100 498 112 498 90
V 700 200 702 204 702 204
VI 900 200 884 182 906 204
VII 1100 200 1088 204 1110 204
VIII 1200 100 1200 112 1200 90

Come si vede, in tutti e tre i temperamenti l’intervallo di ottava è identico (1200 cents) e sono praticamente uguali anche gli intervalli di quarta (498-500 cents) e di quinta (700-702 cents). Il discorso è ben diverso per gli intervalli di terza maggiore e di sesta maggiore. L’intervallo di terza maggiore naturale vale 386 cents, mentre quello pitagorico è assai crescente: 408 cents; un discorso analogo vale per la sesta. Si può dunque ben capire come mai un intervallo perfettamente consonante secondo la nostra sensibilità come quello di terza maggiore venisse considerato intollerabilmente dissonante agli inizi della polifonia, quando si usava il temperamento pitagorico: la “colpa” era insita nella costruzione pitagorica della scala.

La tabella mostra anche che le approssimazioni introdotte con il temperamento equabile sono più modeste di quelle pitagoriche (l’intervallo di terza maggiore vale 400 cents invece dei 386 cents naturali) e tali da essere ormai ampiamente tollerate. Ciò spiega come mai al nostro orecchio intervalli di terza suonino consonanti anche quando suonati al pianoforte (che è intonato secondo il temperamento equabile).

Nella seguente tabella viene riportato anche il temperamento mesotonico (o medio o del tono di mezzo), raffrontato con gli altri e le relative proporzioni pitagoriche:

NOTA: in questa tabella sono indicati i rapporti fra frequenze corrispondenti agli intervalli, mentre nella sezione “storica” di questa voce figurano i rapporti inversi (ad esempio 2:3 per la quinta, invece di 3:2), in accordo con il fatto che fino al XVII secolo non si consideravano le frequenze, bensì le lunghezze della corda del monocordo.
N° semitoni Nome intervallo Intervallo naturale Intervalli in cent
Temperamento equabile Temperamento naturale Temperamento pitagorico Temperamento mesotonico
0 Unisono 1:1 0 0 0 0
1 Seconda minore 16:15 100 112 90 117
2 Seconda maggiore 9:8 200 204 204 193
3 Terza minore 6:5 300 316 294 310
4 Terza maggiore 5:4 400 386 408 386
5 Quarta giusta 4:3 500 498 498 503
6 Quarta aumentata
Quinta diminuita
45:32
64:45
Tritono 600 590
610
612 579
621
7 Quinta giusta 3:2 700 702 702 697
Quinta del lupo: 737
8 Sesta minore 8:5 800 814 792 814
9 Sesta maggiore 5:3 900 884 906 889
10 Settima minore 9:5 1000 1018 996 1007
11 Settima maggiore 15:8 1100 1088 1110 1083
12 Ottava 2:1

Temperamento equabile


Il temperamento equabile è il sistema musicale per la costruzione della scala fondato sulla suddivisione dell’ottava in intervalli tra di loro uguali. Nell’uso più frequente, l’ottava è suddivisa in 12 parti (semitoni). Il temperamento così costituito è denominato 12-TET, ed è identificato come “temperamento equabile” per antonomasia dalla maggior parte dei musicisti occidentali.

Già descritto da Aristosseno di Taranto intorno al 320 a.C., questo sistema fu caldeggiato da numerosi intellettuali, tra cui spiccano il matematico fiammingo Simone Stevino verso la fine del XVI secolo, ed il musicista Vincenzo Galilei (padre di Galileo Galilei) nel 1581. Tuttavia la sua adozione fu graduale, a causa sia dell’estrema difficoltà di ottenere questo temperamento nell’accordatura degli strumenti (per mancanza di intervalli giusti di riferimento), sia del fatto che l’estetica musicale pre-romantica richiedesse nella scala la presenza di alcuni intervalli giusti, di cui veniva fatto uso del loro carattere “puro”, pur essendo essi incompatibili con la suddivisione dell’ottava in parti uguali. Solo nella seconda metà del XIX secolo, con il graduale rilassamento della necessità di intervalli giusti a favore della flessibilità nel cambiamento di tonalità (modulazione), il temperamento equabile si affermò gradualmente in tutta Europa, sostituendo i temperamenti inequabili (o buoni temperamenti), in cui l’ottava non è divisa in parti uguali, quali quelli descritti dal tedesco Andreas Werckmeister nel 1691, Johann Georg Neidhart, Francesco Antonio Vallotti e da molti altri autori. Bisogna attendere fino al 1917 perché William Braid White arrivi a sviluppare un metodo praticamente utilizzabile per accordare un pianoforte secondo un temperamento equabile rigoroso.

La costruzione della scala equabile 12-TET

Intervallo Rapporto
Unisono 1
Seconda maggiore \sqrt[12]{2^2}
Terza maggiore \sqrt[12]{2^4}
Quarta giusta \sqrt[12]{2^5}
Quinta giusta \sqrt[12]{2^7}
Sesta maggiore \sqrt[12]{2^9}
Settima maggiore \sqrt[12]{ 2^{11} }
Ottava 2

Il temperamento equabile, nella variante 12-TET, può essere riguardato come “aggiustamento” dei gradi della scala naturale, in modo da dare uniformità ai vari tipi d’intervallo ed eliminare le ambiguità tra tono maggiore e minore o semitono diatonico e cromatico. Proprio per questo, tra i temperamenti equabili, esso è quello di maggiore diffusione in occidente.

L’idea di base è semplice: suddividere l’ottava in 12 intervalli “elementari” (semitoni temperati) tutti esattamente della stessa ampiezza (tali, cioè, che il rapporto tra le due frequenze rimanga costante). Poiché l’intervallo di ottava è espresso dalla frazione 2/1 (cioè 2, in quanto la frequenza raddoppia ad ogni ottava), il rapporto di frequenze che identifica il semitono temperato è il numero irrazionale \sqrt[12]{2}: in questo modo dodici semitoni coprono esattamente la distanza di un’ottava.

Poiché \sqrt[12]{2} \simeq 1,06 \simeq 18/17, il semitono “temperato” risulta essere una via di mezzo tra il semitono cromatico (25/24) e il semitono diatonico (16/15) della scala naturale. Il tono invece vale \sqrt[12]{2} \times \sqrt[12]{2} \simeq 1,12 \simeq 9/8, cioè è circa equivalente ad un tono maggiore naturale.

Vantaggi e svantaggi

Grado
della scala
Scala
temperata
Interv. Nome
interv.
I 0
II 200 200 Tono
III 400 200 Tono
IV 500 100 Semitono
V 700 200 Tono
VI 900 200 Tono
VII 1100 200 Tono
VIII 1200 100 Semitono
La scala maggiore temperata
(intervalli espressi in cent)

Il temperamento equabile è dunque un espediente teorico che, eliminando la distinzione tra tono maggiore/minore e semitono diatonico/cromatico, fa coincidere diesis e bemolli (es. Sol# = Lab), ottenendo che il tono si divida in due semitoni uguali. In questo modo anche su strumenti ad intonazione fissa il grado di consonanza degli accordi rimane lo stesso in tutte le tonalità, diversamente da quanto accadeva con i temperamenti inequabili (che pure permettevano di suonare in tutte le tonalità, come esemplificato dal Clavicembalo ben temperato di J.S. Bach, ma con effetti diversi a seconda della tonalità). Il maggiore svantaggio è l’alterazione di tutti gli intervalli giusti (particolarmente rilevante e avvertibile negli intervalli di terza); il compromesso è però spesso efficace ed ormai tollerato dalla sensibilità musicale occidentale. Il filosofo e matematico Leibniz sottolineava, già nel 1709, che solo orecchi molto allenati riescono a cogliere le “stonature” della scala equabile:

(FR)

« Ayant consideré un jour et examiné par les Logarithmes l’ancienne division de l’octave en 12 parties egales qu’Aristoxene suivoit deja; et ayant remarqué combien ces intervalles egalement pris approchent des plus utiles de ceux de l’echelle ordinaire; j’ay cru que pour l’ordinaire on pourroit s’y tenir dans la practique; et quoyque les Musiciens et les oreilles delicates y trouveront quelque defaut sensible, presque tous les auditeurs n’en trouveront point, et en seront charmés. »
(IT)

« Avendo un giorno considerato ed esaminato per mezzo dei Logaritmi l’antica suddivisione dell’ottava in 12 parti uguali, che Aristosseno già seguiva, e avendo osservato quanto gli intervalli equalizzati che si ottengono in tal modo approssimano i più utili fra quelli della scala ordinaria, mi sono convinto che per lo più vi si potrebbe attenere nella pratica; e benché i musicisti e le orecchie più sensibili vi troveranno qualche imperfezione percepibile, pressoché tutti gli ascoltatori non ne avvertiranno alcuna, e ne saranno estasiati »
(Gottfried Wilhelm von Leibniz)
In realtà, nella prassi musicale contemporanea, il temperamento equabile non ha soppiantato del tutto i temperamenti inequabili. Alcuni strumenti ad intonazione fissa (pianoforte, arpa moderna) lo adottano quasi sempre. Altri strumenti ad intonazione fissa (organo, arpa antica, clavicembalo) adottano a tutt’oggi temperamenti inequabili, in quanto solo così è possibile evidenziare contrasti, tipici della musica pre-romantica, che altrimenti andrebbero perduti. Gli strumenti ad arco e i legni possono suonare sia secondo il temperamento equabile, sia variare l’altezza delle note di ogni singolo accordo per ottenere gli intervalli naturali, come si fa sistematicamente nella polifonia vocale. Alcuni strumenti, come la tromba naturale e il corno naturale, sono costruiti per emettere esclusivamente note armoniche (ossia frequenze multiple intere di una singola nota fondamentale. Questi strumenti suonano quindi secondo la scala naturale; nel corno è possibile correggere l’intonazione delle note inserendo la mano destra nel padiglione dello strumento (tecnica attestata a partire dal 1750, e oggi di uso corrente anche nel corno a pistoni). Nella moderna tromba a pistoni il problema di correggere l’intonazione dalla scala naturale al temperamento equabile si pone per quelle note che si ottengono direttamente come armonici, e alcuni modelli di tromba includono piccole coulisses addizionali per permettere tale correzione.

Temperamento mesotonico

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Il temperamento del tono medio, altrimenti noto come temperamento mesotonico, è un sistema di intonazione delle note utilizzato durante la fine del Rinascimento e nel periodo del Barocco.

Questo temperamento, la cui ideazione è attribuita al veneziano Pietro Aron nel 1523, si basa su un principio simile a quello pitagorico, cioè ottenere i vari gradi della scala attraverso cicli di quinte; tuttavia, nei temperamenti del tono medio gli intervalli di quinta vengono “corretti”, dimodoché altri intervalli, come le terze maggiori, si trovino alla loro intonazione naturale.

La forma più comune di questo temperamento (ma esistono anche altri temperamenti mesotonici) si fonda sul rapporto di 5:4 fra le frequenze di note a distanza di terza maggiore; questa versione è nota come temperamento del quarto di comma, in quanto le quinte sono abbassate di un quarto di comma sintonico. In questo modo gli intervalli di tono sono costanti ed il rapporto fra di essi è pari a  {\sqrt{5} \over 2}. Il nome di tono medio per questo intervallo corrisponde al fatto che tale rapporto è la media geometrica fra l’intervallo di tono maggiore (espresso dal rapporto 9:8) e quello di tono minore (10:9) che compaiono nella scala naturale. In questo modo l’intervallo di terza maggiore di 5:4, anziché risultare dalla composizione di un tono maggiore e un tono minore – come avviene nella scala naturale – risulta dalla composizione di due toni uguali.

Storia

Alla fine del medioevo, l’intervallo di terza cominciò a divenire fondamentale nella musica polifonica. Nella scala pitagorica gli intervalli di terza maggiore risultano poco consonanti. Le frequenze di due note a distanza di terza maggiore hanno un rapporto pari a 81/64≈1,2656, mentre l’intervallo naturale di terza maggiore (quello ricavabile dagli armonici naturali e utilizzato anche nell’Intonazione naturale) sarebbe dato invece dal rapporto 5/4=1,25; alcuni probabilmente si accorsero che le quarte diminuite (come Fa#-Sib, o Sol#-Do) che hanno un rapporto di 8192/6561≈1,2486 e quindi sono molto più vicine al 5/4 naturale, sono più consonanti delle terze maggiori. Fu così che dalla fine del XV secolo si cominciarono a “temperare”, cioè accordare calanti, le quinte, in modo da rendere più consonanti gli intervalli di terza. Il temperamento mesotonico del quarto di comma si basa proprio sulla giustezza degli intervalli di terza maggiore.

Il temperamento del quarto di comma

Descrizione

Nella scala pitagorica, poniamo di avere un Do di frequenza 1. Il Sol sarà 3/2=1,5, il re dell’ottava sopra (3/2)²=9/4=2,25, il La appena sopra sarà (3/2)³=27/8=3,375 e infine il Mi successivo, due ottave sopra il Do iniziale, avrà frequenza [(3/2)²]²=81/16=5,0625; insomma, il Mi è stato ottenuto elevando alla quarta la frequenza del Sol, che ha quindi frequenza pari a \sqrt[4]{{81 \over 16}}\ = {{3 \over 2}}. Se ora arrotondiamo la frequenza del Mi a 5, otteniamo che la frequenza del Sol è pari a \sqrt[4]{5}\ \approx 1,4953..., che è di poco inferiore all’1,5 pitagorico.

La scala diatonica

Possiamo quindi ora costruire la scala diatonica, partendo da primo grado con frequenza 1, stabilendo l’ottavo a frequenza 2 e il quinto a frequenza \sqrt[4]{5}\ .

Grado Formula Rapporto decimale Cents
I 1 1 0
II  {\sqrt{5} \over 2} 1,180… 193.2
III  {5 \over 4} 1.25 386.3
IV  2 {\sqrt[4] {125} \over 5} 1.337… 503.4
V \sqrt[4]{5}\ 1,495… 696.6
VI  {\sqrt[4] {125} \over 2} 1.6719… 889.7
VII  5 {\sqrt[4] {5} \over 4} 1.869… 1082.9
VIII 2 2 1200

Come si può notare, i rapporti sono molto più complessi di quelli pitagorici, in quanto coinvolgono numeri irrazionali di grado superiore al secondo; ciò implica che il temperamento mesotonico non è esattamente ottenibile per via geometrica attraverso la suddivisione di una corda (con il monocordo). Nella pratica, tuttavia, il temperamento mesotonico è di realizzazione abbastanza agevole, in quanto dopo un primo ciclo di quattro quinte (accordate opportunamente calanti) si deve ottenere una terza maggiore priva di battimenti, e da quel momento per tutte le quinte successive si ha un riscontro nelle terze maggiori che si ottengono. Il problema pratico è quindi quello di “temperare” nella giusta e uguale misura le prime quattro quinte del ciclo.

Le note alterate

Come nell’intonazione pitagorica, nel temperamento mesotonico semitono diatonico e cromatico non coincidono (cioè la distanza, per esempio, tra Do e Do# è diversa di quella tra Do e Reb; ciò implica che Do# e Reb sono due note diverse). L’accordatura di uno strumento con dodici tasti per ottava, pertanto, implica la scelta fra diesis e bemolle per ciascuna delle note alterate, e in tutti i casi produce un intervallo di quinta fortemente dissonante (detto quinta del lupo, che a rigor di termini non è una quinta bensì una sesta diminuita). Ciò corrisponde al fatto che una successione di dodici quinte mesotoniche non si chiude su un multiplo dell’ottava. Con un’accordaura mesotonica cromatica che preveda le note do-do#-re-mib-mi-fa-fa#-sol-sol#-la-sib-si, ad esempio, la “quinta del lupo” si trova fra sol# e mib.

Per ottenere il semitono diatonico basta trovare e dividere le frequenze dell’ottavo grado per quelle del settimo, o anche quelle del quarto per quelle del terzo; svolti gli opportuni calcoli, si ottiene  8 {\sqrt[4] {125} \over 25} \approx 1,07 , circa 117 cents, che è un po’ superiore al semitono diatonico pitagorico, pari a circa 1,053 (90 cents) , e quello equabile di 1,059 (100 cents). Il fatto che il semitono diatonico sia maggiore di quello equabile implica che quello cromatico sarà minore di esso (il contrario di ciò che accade nella scala pitagorica). Per trovare il semitono cromatico, basta dividere quello di tono per quello di semitono diatonico; otteniamo così un semitono cromatico pari a  5 {\sqrt[4] {125} \over 16} \approx 1,045 , pari a circa 76 cents, molto di meno dei 100 cents equabili e dei 114 pitagorici. La differenza tra semitono diatonico e cromatico è quindi molto grande, ben 41 cents; questo è detto comma enarmonico.

L’adozione del temperamento mesotonico restringe il numero di tonalità utilizzabili: se con un’accordatura come quella sopra descritta si dovesse fare una cadenza in mi, ad esempio, verrebbe a mancare la sensibile (non si può infatti rimpiazzare il re# con il mib, che non forma una terza giusta con il si). Questa limitazione condusse, nel corso del XVII secolo, al progressvo abbandono del temperamento mesotonico a favore dei cosiddetti “buoni temperamenti”, inizialmente basati su una combinazione di quinte mesotoniche e di quinte giuste. Il temperamento mesotonico era tuttavia ancora utilizzato per l’accordatura degli organi, in Inghilterra, alla metà del XIX secolo.

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